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Erro na prova nacional de Matemática do 12º ano?
Contribuído por jmce em 27-06-03 11:42
do departamento nem-por-isso
Rapidinhas Anonimo Cobarde escreve "Parece-me que existe um erro no exercício nº 4 (grupo I) da Prova Nacional de Matemática 435, versão 1. Nenhum dos gráficos apresentados A, B, C e D, é solução, visto que a função g(x), para OQ < x < +inf. é monotonamente crescente, tendendo para a assíntota y=PQ^2 (PQ, entenda-se, é o comprimento do segmento). De facto, quando o ponto R se encontra no infinito as semi-rectas que passam por PR e por QR são paralelas, logo, a área da secção produzida no cubo não é mais nem menos que a própria área lateral do cubo, ou seja, PQ^2. Note-se que as áreas da infinidade de trapézios, para OQ < x < +inf. é sempre monotonamente crescente a tender para a assíntota PQ^2. Conclusão: Na figura D, a segunda inflexão que é apresentada como monotonamente decrescente, deveria ser monotonamente crescente, ou seja, a tender para um assintota superior à apresentada na figura. Gostaria de saber as vossas opiniões sobre este problema. RJDS" [jmce: resposta no desenvolvimento...]

Seria assim se se pedisse a área da intersecção do triângulo PQR com o cubo. Mas o que o exercício discute é a intersecção do plano definido por P,Q,R com o cubo, e a resposta certa é D.

Sendo L o lado do cubo, a área da intersecção do triângulo com o cubo é
a(x) = L2 sqrt(1+x2/L2)  se  x<=L,
a(x) = L2 (1-L/(2x)) sqrt(1+L2/x2)  se  x>=L
(curva vermelha no gráfico abaixo, tomando L como unidade de comprimento e L2 como unidade de área).

Mas a área pedida (intersecção com o plano) é
g(x) = L2 sqrt (1+x2/L2)  se  x<=L;
g(x) = L2 sqrt (1+L2/x2)  se  x>=L
(curva preta).

Notas:

  • No artigo submetido pelo RJDS, fiz alguns ajustes de texto.
  • Ena, tanta pergunta de escolha múltipla nos tempos que correm.
  • "Recorra à calculadora para determinar graficamente" ?
  • Grunf, também comecei por caír na rasteira "triangular" :)

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Referências
  • Anonimo Cobarde
  • Prova Nacional de Matemática 435, versão 1
  • Mais acerca Rapidinhas
  • Também por jmce
  • Esta discussão foi arquivada. Não se pode acrescentar nenhum comentário.
    Matemática do 12º no Gildot (Pontos:0, Lança-chamas)
    por taf em 27-06-03 12:30 GMT (#1)
    (Utilizador Info)
    Sinceramente, o que raio é que isto tem de relacionado com o Gildot...? Software? Linux ? A falta de notícias é assim tão grande?
    Re:Matemática do 12º no Gildot (Pontos:1, Redundante)
    por jmce em 27-06-03 12:35 GMT (#3)
    (Utilizador Info) http://jmce.artenumerica.org/
    "e não só".
    Re:Matemática do 12º no Gildot (Pontos:2)
    por jmce em 27-06-03 12:48 GMT (#5)
    (Utilizador Info) http://jmce.artenumerica.org/

    ... mas fica o aviso à navegação que isto de fazermos o trabalho de casa alheio não é habitual, para o caso de estarem a pensar nos pedidos seguintes. E já agora experimentem também sem calculadora gráfica que vão acabar por gostar mais (apesar de eventuais sintomas de privação ao princípio). :)

    Ainda ontem um amigo meu me contava como o uso que estava a ser feito das calculadoras (frequentemente bastante "mindless") lhe parecia estar a emperrar o raciocínio de muito jovem por essas escolinhas fora...

    Re:Matemática do 12º no Gildot (Pontos:2)
    por CrLf em 27-06-03 13:17 GMT (#7)
    (Utilizador Info) http://crodrigues.webhop.net
    também sem calculadora gráfica que vão acabar por gostar mais

    Oh sim! Vamos adorar...

    -- Carlos Rodrigues
    Re:Matemática do 12º no Gildot (Pontos:2)
    por BlueNote em 27-06-03 21:27 GMT (#31)
    (Utilizador Info)
    Não sei qual é o problema. Fiz uma licenciatura engenharia sem recorrer a calculadoras gráficas e não morri. Muito menos a matemática do 12.º ano!
    Re:Matemática do 12º no Gildot (Pontos:2)
    por CrLf em 27-06-03 23:40 GMT (#34)
    (Utilizador Info) http://crodrigues.webhop.net
    A questão é o gostar... deveria gostar tanto como de espetar um prego na testa...

    -- Carlos Rodrigues
    Re:Matemática do 12º no Gildot (Pontos:3, Interessante)
    por Arrepiadd em 27-06-03 17:42 GMT (#30)
    (Utilizador Info)
    Ainda ontem um amigo meu me contava como o uso que estava a ser feito das calculadoras (frequentemente bastante "mindless") lhe parecia estar a emperrar o raciocínio de muito jovem por essas escolinhas fora...

    Claramente!! Os meus pais são ambos professores, embora não na área da matemática e eu acabo por conhecer os professores que trabalham com eles (alguns que acabaram por ser meus professores). Eles relatam que os alunos aceitam os dados do que a máquina diz independentemente do facto de o valor fazer sentido ou não. Há o célebre caso (isto aconteceu mesmo) do aluno que numa sondagem feita a 12% da população (população essa de 1000 habitantes) dizia que o número de elementos que tinham entrado na sondagem eram 1700 (os valores podiam não ser bem estes, mas a ideia é esta. Ora, se um aluno nem percebe que o valor da sondagem usa mais do que toda a população, é porque os números para ele nem sequer fazem sentido. E isso é muito grave.

    Mas mesmo na universidade o caso não deixa de ser sério. Eu estudo no IST e tal como eu todos os alunos que entraram tiver de ter nota maior ou igual a 10 no exame de matemática para entrar aqui. No entanto, os professores queixam-se exactamente do mesmo. De alunos que metem os resultados mais disparatados e sem sentido que se possa imaginar. Ora, se é assim numa escola em que todos tiveram de tirar boa nota (leia-se, relativamente à média nacional), imagine-se naqueles alunos que nunca perceberam muito de matemática.

    O mais chato é que cada vez será pior. Ao invés de se ensinar as crianças a pensar e a fazer contas de cabeça não, o que é importante é que mexam em máquinas de calcular. O ano passado, um avô estava no princípio do ano lectivo apressado porque tinha de ir comprar uma máquina de calcular científica à neta porque se não tivesse máquina levava falta de material. E a miúda andava no 6º ano. Ora, se no sexto ano uma máquina científica é indispensável, quando é que se vai aprender a usar a cabeça...

    Algo está errado neste ciclo... Se eu nunca aprender a fazer contas de cabeça (algo para além do 35*3 da escola primária) nunca saberei sequer se o resultado que a máquina me dá está dentro do valor previsto ou não. E isso terá de ser ensinado em algum momento. E quanto mais cedo melhor. Não é quando se chega à universidade que se tem de aprender matemática. Aliás, muita gente quando vai para a universidade nem sequer vai ter matemática (cursos de letras...). Ou há gente que nem vai para a Universidade. Essas pessoas precisarão, em um momento ou outro, de saber matemática, nem que seja para ver se estão a pagar muito pelo jantar. E o que eu vejo é que os meus amigos de letras (infelizmente) não sabem matemática alguma...

    Re:Matemática do 12º no Gildot (Pontos:3, Interessante)
    por raxx7 em 28-06-03 0:27 GMT (#36)
    (Utilizador Info)

    Se eu nunca aprender a fazer contas de cabeça (algo para além do 35*3 da escola primária) nunca saberei sequer se o resultado que a máquina me dá está dentro do valor previsto ou não

    Tolice. Não é por fazeres as contas de cabeça que vais saber se os resultados estão correctos ou não. Se chegas a resultados errados, é porque o método de cálculo já está errado. Fazer as contas à mão não corrige isso.
    O que é necessário é compreender o problema e compreender o significado dos resultados.
    A teoria habitual de que as pessoas deviam saber fazer divisões e raizes quadradas à mão é uma idiotice: são algoritmos simples e por isso mesmo podem ser implementados em máquinas que carecem de inteligência. Desperdiçar o cérebro humano em tarefas repetitivas, nas quais ele se tende a aborrecer e errar, quando pode ser substituido por máquinas é um burrice.


    Remember to be the Killer, not the Victim! (Nuklear Girl)
    Re:Matemática do 12º no Gildot (Pontos:2)
    por Arrepiadd em 28-06-03 9:32 GMT (#37)
    (Utilizador Info)
    Sim, pode ser, mas se tu nunca aprendes a fazer as contas, nem a ter consciência do resultado previsto, saiem burrices maiores...

    É este o problema... Além disso, quando vais a uma loja e vês uma pessoa com uns 20 anos a trabalhar lá e a dita pessoa chega ao ponto de ir à máquina ver quanto tens que pagar por duas coisas: uma que custa 35 cêntimos e por outra 25 algo vai mal ou não. Não sou apologista de raízes quadradas à mão (embora também nunca me tenham ensinado a fazê-las). Mas se souberes fazer não perdes nada. Ou quando vais almoçar com um amigo não sabes quanto cada 1 tem de pagar?

    Desculpa lá, se eu não me faço entender bem, o meu ponto não é que se faça tudo à mão, mas que se tenha consciência de quanto é de esperar o resultado. Por exemplo, se um aluno fizer uma conta de multiplicar com estes números ab*cd em que a,b,c,d são algarismos e se lhe aparecer na máquina um número com 6 algarismos é de esperar que o aluno se aperceba que o número está errado. O problema está aqui (e não no facto de o aluno não fazer as contas de cabeça sempre). É suposto ter-se uma ideia da dimensão do resultado. E é isso que muitas vezes os alunos hoje não têm.

    Re:Matemática do 12º no Gildot (Pontos:2)
    por raxx7 em 29-06-03 15:01 GMT (#43)
    (Utilizador Info)
    Dou-te razão nesse aspecto. É util saber fazer contas de cabeça. E sempre ajuda a ver quando de enganaste a carregar nos botões da calculadora.
    Mas o real problema dos alunos não são os erros que cometem ao somar e multiplicar números. E não é disso que os professores se queixam. O problema é quando um aluno de Fisica não acha estranho que a energia cinética de um objecto dê um valor negativo.
    E qualquer sugestão de que o uso de uma máquina que carece de inteligência contribui para a falta de raciocinio dos alunos é tapar o sol com a peneira.

    Remember to be the Killer, not the Victim! (Nuklear Girl)
    Re:Matemática do 12º no Gildot (Pontos:2)
    por Gamito em 27-06-03 22:23 GMT (#33)
    (Utilizador Info) http://www.dte.ua.pt/~gamito
    f(x)=0

    Mário Gamito
    my web shelter
    C.O. (Pontos:2)
    por pmsac em 27-06-03 12:33 GMT (#2)
    (Utilizador Info) http://2130706433/
    s/assintota/assimptota

    -- pmsac.oO(Cogito sumere potum alterum)
    Re:C.O. (Pontos:2)
    por jmce em 27-06-03 12:37 GMT (#4)
    (Utilizador Info) http://jmce.artenumerica.org/
    ... ou não (embora eu também prefira a segunda).
    Re:C.O. (Pontos:2)
    por pmsac em 27-06-03 14:23 GMT (#13)
    (Utilizador Info) http://2130706433/
    Segundo este link, não: DLPO.

    -- pmsac.oO(Cogito sumere potum alterum)
    Re:C.O. (Pontos:2)
    por jmce em 27-06-03 14:38 GMT (#16)
    (Utilizador Info) http://jmce.artenumerica.org/
    Segundo esse link, "assíntota" sim (tinha ido verificar lá antes de publicar o artigo). Mas não tenho à mão outros dicionários para confirmar... (os antigos que tenho em casa não incluem essa forma).
    Re:C.O. (Pontos:2)
    por Strange em 27-06-03 15:12 GMT (#18)
    (Utilizador Info) http://strange.nsk.no-ip.org/
    Eim? Segundo o link assíntota: s. f., vd. assimptota.

    hugs
    Strange

    Re:C.O. (Pontos:2)
    por pmsac em 27-06-03 15:14 GMT (#19)
    (Utilizador Info) http://2130706433/
    Tens razão.
    Aparentemente a busca sem usar acentuação não retorna "assíntota". Infelizmente, utilizei para busca a versão não acentuada, que aparece no artigo 1 x (sendo que a versão acentuada aparece no artigo 2 x).

    -- pmsac.oO(Cogito sumere potum alterum)
    Se o exame é exactamente aquilo que está no PDF... (Pontos:3, Informativo)
    por mlopes em 27-06-03 12:49 GMT (#6)
    (Utilizador Info)
    ... a resposta certa é "nenhum", e quem tiver respondido "nenhum" deveria ter a resposta considerada certa.

    O único problema parece-me ser terem cosiderado com certa uma resposta que não o era, mas isso parece-me fácilmente remediável com uma revisão dos exames.

    No woman ever falls in love with a man unless she has a better opinion of him than he deserves.

    Re:Se o exame é exactamente aquilo que está no PDF (Pontos:2)
    por jmce em 27-06-03 13:24 GMT (#8)
    (Utilizador Info) http://jmce.artenumerica.org/
    Porquê "nenhum"?
    Re:Se o exame é exactamente aquilo que está no PDF (Pontos:2)
    por mlopes em 27-06-03 14:03 GMT (#10)
    (Utilizador Info)
    Como diz no próprio artigo "Nenhum dos gráficos apresentados A, B, C e D, é solução(...)" e como a pergunta é "Qual dos seguintes pode ser o gráfico da função g?"
    So if she wheight's the same as duck, therefore a witch.... que é como quem diz, a resposta será "nenhum"!

    No woman ever falls in love with a man unless she has a better opinion of him than he deserves.

    Re:Se o exame é exactamente aquilo que está no PDF (Pontos:2)
    por jmce em 27-06-03 14:23 GMT (#12)
    (Utilizador Info) http://jmce.artenumerica.org/

    Mas mas mas... não deu para perceber que o artigo que nos foi mandado... partia de um pressuposto errado? Tentando explicar novamente: nenhum dos gráficos seria solução se se estivesse a falar da área da intersecção do triângulo PQR com o cubo, mas o exercício falava do PLANO definido pelos pontos P,Q e R, não do triângulo. Por isso D é uma boa solução.

    Nota que não é necessário sequer usar as expressões que calculei. Quando se pensa (visualize it...) na intersecção do plano com o cubo, percebe-se que a área aumenta até x=L, para o qual é máxima (o plano contém então duas arestas opostas do cubo, o lado maior do rectângulo de intersecção é a diagonal de uma face do cubo). Depois a área começa a diminur à medida que x aumenta, e com x a tender para infinito o rectângulo de intersecção tende para uma das faces do cubo.

    Re:Se o exame é exactamente aquilo que está no PDF (Pontos:2)
    por Strange em 27-06-03 15:18 GMT (#20)
    (Utilizador Info) http://strange.nsk.no-ip.org/
    ?? Entao qual é a notícia? Qual é a razão para este artigo?

    Como o AC estava errado e aparenta nem conseguir ler um enunciado, para quê o artigo? Isto não é um forum de matemática, nem para se obter explicações gratuitas sobre esse tema.

    Ou posso agora aprensentar os enunciados de exames anteriores de disciplinas que tenho para fazer, dizer que acho que nenhuma resposta é possível, e sair-me a resolução por mão dum editor mais ajudador?

    hugs
    Strange

    Re:Se o exame é exactamente aquilo que está no PDF (Pontos:2)
    por mlopes em 27-06-03 15:34 GMT (#21)
    (Utilizador Info)
    Ok, sorry, percebi o artigo mal e como não verifiquei os resultados apresentados disse que a resposta seria aquela.

    No woman ever falls in love with a man unless she has a better opinion of him than he deserves.

    Re:Se o exame é exactamente aquilo que está no PDF (Pontos:2)
    por cgd em 27-06-03 14:26 GMT (#14)
    (Utilizador Info)

    Ergh! Não sabes ler? A resposta certa é (D). Vê os cálculos do jmce. Chegar à formula para x>L é difícil, mas como o exercicio era de escolha multipla, via-se logo que era a D, porque é a unica que vale L^2 em x=0 e x=oo. Para x=0, temos L altura vezes OQ, e para x=oo temos L altura vezes QS em que S é o outro ponto que liga a Q alem do P.

    não é que eu perceba alguma coisa do assunto mas.. (Pontos:3, Informativo)
    por André Simões em 27-06-03 13:47 GMT (#9)
    (Utilizador Info) http://hesperion.catus.net
    Sem querer meter-me onde não sou chamado (de matemática entendo quase nada), estive há pouco a folhear o Público, e vem lá a proposta de correcção da prova. Não há qualquer referência a erros de concepção. Também vem uma apreciação feita pela Associação de Professores de Matemática, certamente bem por dentro do assunto, e também não se faz qualquer referência a erros. Nas notícias também não ouvi nada sobre o assunto, e em outros anos em que houve erros era notícia de abertura.
    A paupérrima edição on-line do Público não traz (ou então está num sítio insuspeito) a dita proposta de correcção. Por isso, só posso deixar o link da apreciação da APM.

    ---
    Omnia aliena sunt: tempus tantum nostrum est. (Séneca)
    "Tudo nos é alheio: apenas o Tempo é nosso."

    Re:não é que eu perceba alguma coisa do assunto ma (Pontos:2)
    por jmce em 27-06-03 14:10 GMT (#11)
    (Utilizador Info) http://jmce.artenumerica.org/
    Pois, talvez não tenha ficado claro q.b. mas também não vi ali um erro (a ideia era mostrar isso). Preocupante parece-me a posição da APM, parte de um sistemático desvalorizar da avaliação uniformizada... É claro que é difícil avaliar sem falhas ou acidentes pessoais num exame nacional de poucas horas, mas pelo menos é algo mais justo do que deixar a pessoa marcada permanentemente (para um bem ou mal eventualmente imerecidos) por uma "avaliação contínua" sujeita a caprichos locais/individuais. Quando toca a avaliar, interessa sobretudo avaliar o que se está preparado para fazer agora, e fazê-lo da forma mais isenta possível.
    . (Pontos:2)
    por cgd em 27-06-03 14:34 GMT (#15)
    (Utilizador Info)
    Achei este artigo muito interessante, e sempre é bom variar um pouco entre patentes e processos SCO...

    Muito bem o calculo do jmce. Ainda nao confirmei g(x) para x>L (é dificil!), mas tem bom aspecto :-)

    Pela olhadela que dei ao exame, pareceu-me um bocado puxado para 12o ano. Penso que no meu tempo (há cerca de dez anos) os exames nacionais (estou a pensar na prova especifica de mat 10-12) eram um pouco mais fáceis.

    Afinal tanto se fala de facilitismos, mas pelos vistos não será bem assim, humm?

    Re:. (Pontos:2)
    por jmce em 27-06-03 15:02 GMT (#17)
    (Utilizador Info) http://jmce.artenumerica.org/

    g(x) para x>L talvez seja mais fácil do que parece. Imagina que QT é a parte do segmento QR que está contida na base do quadrado.

    A área da intersecção é QT×PQ=QT×L. E quanto vale o comprimento de QT?

    Por semelhança de triângulos (ou por outros curto-circuitos mentais preferidos, como o trigonométrico...) nota-se que

    QT/QR = L/OR
    ou seja, QT = QR × L/x.

    Com uma injecção de Pitágoras, QR=sqrt(x^2+L^2).

    Logo, para x>L,
    g(x) = L^2/x × sqrt (x^2+L^2) = L^2 sqrt (1+L^2/x^2).

    Sobre o grau de dificuldade, não vi ainda quase nada do resto do exame... Ocorreu-me agora que talvez fosse interessante pôr online o enunciado do que fiz no 12º ano (grunf, já feito há 20 anos, como o tempo #"$!$%*%@£").

    Re:. (Pontos:2)
    por ^magico^ em 27-06-03 15:43 GMT (#23)
    (Utilizador Info)
    Achei este artigo muito interessante, e sempre é bom variar um pouco entre patentes e processos SCO...

    Concordo!

    Pela olhadela que dei ao exame, pareceu-me um bocado puxado para 12o ano. Penso que no meu tempo (há cerca de dez anos) os exames nacionais (estou a pensar na prova especifica de mat 10-12) eram um pouco mais fáceis.

    Acho um bocado forçado comparar exames de hoje com exames de há 10 anos atrás. São épocas diferentes, acessibilidades diferentes, conteúdos diferentes, entre muitas outras diferenças.

    Afinal tanto se fala de facilitismos, mas pelos vistos não será bem assim, humm?

    De facto até pode não ser bem assim, existe sempe o factor C, o factor G e o factor P para que os facilitismos sejam incorporados nas reformas do estado.
    Re:. (Pontos:2)
    por jmce em 27-06-03 16:00 GMT (#24)
    (Utilizador Info) http://jmce.artenumerica.org/
    épocas diferentes, acessibilidades diferentes, conteúdos diferentes...

    Mas a matemática de base não muda assim tão depressa, pelo que se alguma coisa está a mudar é bom que se veja o impacto... Comparar não é "forçado".

    Fiquei surpreendido com a existência de um formulário no enunciado do exame... Posso estar enganado, mas creio que eu tinha de ficar a saber todas aquelas coisas sem precisar de formulário na altura de exame. Nem sequer havia muita necessidade de decorar "mecanicamente" (algo que sempre detestei). Depois de resolvida uma dose apropriada de problemas, a maior parte daqueles resultados ficava automaticamente memorizada (e alguns podiam deduzir-se de alguma igualdade que se recordasse melhor).

    Re:. (Pontos:2)
    por Gamito em 27-06-03 16:23 GMT (#26)
    (Utilizador Info) http://www.dte.ua.pt/~gamito
    O que eu não engulo é a utilização de calculadoras gráficas no Ensino Secundário.
    Os putos assim nunca hão-de compreender *verdadeiramente* o que é e representa o gráfico de uma função.
    Depois chegam à Universidade e... f^H^H^H^H-se.
    A culpa não é deles, mas desta m3*da de país.

    Mário Gamito
    my web shelter
    Re:. (Pontos:2)
    por jmce em 27-06-03 16:33 GMT (#27)
    (Utilizador Info) http://jmce.artenumerica.org/
    Eu até acho que uma calculadora gráfica bem aplicada pode ter usos giros para ajudar a ganhar intuição... Mas do que me têm contado, um problema parece ser que poucos professores (talvez também condicionados por certas escolhas inscritas nos programas escolares) conseguem chegar a esse uso mais equilibrado das calculadoras. Idem provavelmente para os computadores, aquelas coisas em que tanta fé se deposita para a realização de milagres no ensino...
    Re:. (Pontos:2)
    por cgd em 27-06-03 17:04 GMT (#28)
    (Utilizador Info)
    Fiquei surpreendido com a existência de um formulário no enunciado do exame...

    Epa, nem tinha reparado -- quando cheguei às cotações deixei de paginar. Mas agora vendo a lista que existe, até me parece bem. Na prática estamos a falar de uma página de formulas "essenciais". Talvez uma ou outra pudesse ser omitida, mas em geral acho bem que estejam disponíveis para os alunos não terem que as decorar. Quanto ao deduzir, ou saber automaticamente, isso aplica-se a todas as outras formulas que não estão lá. Um exemplo disso são as trignométricas, apenas estão presentes as equivalencias de somas. Todas as outras equivalencias que sejam precisas terao que ser decoradas a partir dessas. Ainda neste caso, por mim só colocava mesmo a equivalencia de cos(a-b).

    Posso estar enganado, mas creio que eu tinha de ficar a saber todas aquelas coisas sem precisar de formulário na altura de exame.

    Quase de certeza! No meu tempo ainda se tinham que decorar. O que acho mal. Na prática muito gente tentava cabular fazendo listas parecidas com aquelas, mas em letrinhas muito pequeninas e a ocupar muito menos espaço :-) (para os mais sensiveis-- obviamente não é esta a justificação para achar mal o facto de se ter que decorar)

    Já agora, confirmo as tuas expressões. O problema era de facto em achar o comprimento do tal segmento que fica dentro do cubo. Sinceramente não consegui chegar lá por "pitagorices", ainda tentei arranjar um cubo x por x que contivesse o de LxL, mas não deu em nada (pensando melhor, talvez um cubo Lx por Lx funcionasse). Sendo assim fui la por trignometria, que deu esta expressão para a área: L/cos(atan(L/x)). Esta expressão é fácil de conseguir. O dificil aqui é simplificar o cos(atan(z)), que por acaso é igual a 1/sqrt(1+z^2) [nao está nas formulas!] ... substituindo e simplificando acaba por vir L sqrt( L^2 / x^2 + 1)
    ps: tens um quadrado a mais na tua expressao (L^2 sqrt(...)), nao?

    Re:. (Pontos:2)
    por cgd em 27-06-03 17:11 GMT (#29)
    (Utilizador Info)
    ps: tens um quadrado a mais na tua expressao (L^2 sqrt(...)), nao?

    Esquece! A expressão que eu mostrei não é a da área, mas sim a do tal comprimento dentro do cubo. Para se chegar à área tem que se multiplicar pela altura (L) o que de facto dá L^2 sqrt(L^2/x^2 + 1)

    Re:. (Pontos:1)
    por blacksheep em 27-06-03 21:58 GMT (#32)
    (Utilizador Info)
    por mim só colocava mesmo a equivalencia de cos(a-b)
    Já lá tem a equivalência de cos(a+b). cos(a-b) é apenas cos(a+(-b))!
    Re:. (Pontos:1)
    por faustino em 28-06-03 0:14 GMT (#35)
    (Utilizador Info)
    Pois e eu tenho a impressão contrária
    Eu gostava de ter uma assinatura gira.
    curioso (Pontos:2)
    por ruben dig em 27-06-03 15:39 GMT (#22)
    (Utilizador Info) http://www.floppy.com.pt
    É interessante que num problema de matemática se refira que uma função seja monotona ...
    Nado como computação gráfica para tirar a monotonia a esta treta :)
    Ufff! (Pontos:3, Engraçado)
    por CrLf em 28-06-03 16:54 GMT (#38)
    (Utilizador Info) http://crodrigues.webhop.net
    Se calhar é só a mim, mas ver conversas animadas sobre matemática com gente a resolver exercícios for fun dá-me cá uma dôr de cabeça...

    -- Carlos Rodrigues
    Parabéns pelo artigo (Pontos:1)
    por elefedefe em 28-06-03 16:58 GMT (#39)
    (Utilizador Info)
    Não é que eu perceba muito do assunto, porque a matemática para mim neste momento so serve mesmo para saber se estou a pagar a quantia certa num jantar, mas considero positivo o post de comentários que fogem do trivial, e que exigem de quem os lê de alguma reflexão e um debruçar mais cuidado sobre o assunto. Por isso os meus parabéns por este artigo, e venham mais porque para mim são sempore bem vindos
    Eu fiz (Pontos:1)
    por DaniGri em 28-06-03 19:23 GMT (#40)
    (Utilizador Info) http://Jogos.Play.SAPO.PT
    Eu fiz o exame o ano passado ... e fiz este ano também e o deste ano realmente foi bastante complicado.. Tive a falar com o meu pai q eh prof de Math do secundário há 20 e tal anos .. e ele acha q tu tens razão .. essa pergunta realmente deve estar errada.. é esperar para ver .. os 9 pontinhos davam-me jeito Um abraço
    Então acha mal (Pontos:2)
    por Arrepiadd em 29-06-03 11:00 GMT (#41)
    (Utilizador Info)
    Acho que para além do que já foi explicado é relativamente simples ver que a resposta D está certa.

    Quando o ponto R está em x=0 (relativamente a y e z está sempre em 0) tens o plano yOz como o plano definido pelos três pontos. Assim, a área da intersecção entre o plano formado pelos três pontos e o cubo é igual à área do cubo(L^2). Há medida que vais avançando em x, aumenta até atingir o máximo quando está no vertice em x=L. A partir daí tens a área a diminuir e no infinito, o plano formado pelos pontos PQR é paralelo ao plano xOz. Nesta situação a área será novamente a área lateral do cubo. Assim sendo, como isto é só no infinito, tens uma assímptota que tende para L^2.

    Por isso, o exercício está certo.

    Afinal... (Pontos:1)
    por nordix em 29-06-03 14:38 GMT (#42)
    (Utilizador Info)
    o problema estava devidamente enunciado e a resposta era a D. Agradeço a todos os que colaboraram. Às vezes escapa-nos aquele pormenor q faz a diferença e este foi o caso, mas, postas as questões de forma correcta e não sensacionalista, acho que - modéstia à parte - propus um artigo interessante e mais interessante ainda foi a forma como o assunto foi aqui abordado. Obrigado.

     

     

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